PLAN DE TRAVAIL:
Après lecture du cahier des charges, vient la planification du sujet pour arriver à une fin qui est la preuve du tnp:
1) Chercher les définitions suivantes:
- Fonction complètement multiplicative.
- Fonction additive.
- Fonction complètement additive.
- Le produit de convolution des fonctions arithmétiques.
2) Chercher les définitions des fonctions suivantes:
- La fonction neutre pour le produit de convolution des fonctions arithmétiques.
- La fonction de möbius.
- La fonction de Von Mangoldt.
- La fonction indicatrice d'Euler.
- La fonction somme de la fonction de von Mangoldt notée psi.
Quelques résultats préliminaires à connaître et d'autres à démontrer avant de prouver le TNP:
- Formule classique de sommation d’Abel;
- Formule de sommation d’Abel pour les intégrales de Stieltjes;
- Comparaison d’une somme et d’une intégrale;
- Fonctions arithmétiques;
- Fonction de convolution;
- Fonction μ de Möbius;
- Premières formule d’inversion de Möbius;
- Deuxième formule d’inversion de Möbius;
- Fonction ∧ de VAN MANGOLDT;
- Les inégalités de Tchebychev;
- Les fonctions θ et ψ de Tchebychev;
- Premier théorème de Mertens.
3) Démontrer :
Le théorème fondamental de l'arithmétique:
- Que la fonction de Möbius est inversible et d'inverse la fonction constante 1.
- Que l'ensemble des fonctions arithmétiques muni du produit de convolution forme un groupe.
- Que la fonction logarithme est une fonction arithmétique additive.
- Des relations de convolution entre toutes les fonctions que je t'ai dit de chercher.
Enoncé du théorème des nombres premiers : Soit π(x) le nombre des nombres premiers inférieurs ou égal à un nombre réel non nul x
Alors la quantité π(x)∽ x/lnx quand x tend vers ∞
Conclusion:
Nous concluons avec quelques remarques sur l'efficacité relative des méthodes élémentaires et analytiques pour divers problèmes en théorie des nombres premiers. Il est bon de noter ici que de nombreux résultats ont été obtenus par une combinaison de méthodes élémentaires et analytiques. Nous allons décrire une méthode comme étant «essentiellement élémentaire » si ses idées principales sont élémentaires et certains détails sont effectués par des moyens analytiques. Un certain nombre d'estimations sont de ce type.
Le choix d'une approche à privilégier pour un problème dépend d'un certain nombre de considérations: la nature des données, ce que nous cherchons, quelles démarches et techniques à entreprendre qui sont disponibles et simples d’utilisation. Par exemple, il serait généralement considéré comme inapproprié pour prouver analytiquement l'affirmation que, si n>3 , alors n , n+2, et n+4 ne sont pas tous des nombres premiers.
D'autre part, les méthodes analytiques utilisent souvent des données arithmétiques dans une forme qui convient parfaitement à la preuve de «théorèmes complexes».
Par exemple, des estimations élémentaires et analytiques non triviales sont connues pour π(x) et le problème de «diviseur», mais dans les deux cas, les estimations les plus précises ont été obtenus par des méthodes d'analyse en utilisant les informations connues sur la fonction zêta de Riemann.
Bibliographie :
[1] Les nombres premiers (Presses universitaires de France : Que sais-je).
[2] Autour du théorème des nombres premiers (Xavier Caruso et David Pigeon Sep.2007.
[3] A motivated account of an elementary proof of the prime number theorem.
[4] Théorème des nombres premiers : la preuve de Daboussi (Gerard Freixas Juin 2002).
[5] A propos d’un théorème de Tchebychev sur la répartition des nombres premiers.
[6] Elementary methods in the study of the distribution of prime numbers.
[7] Distribution of prime numbers (W.W.L Chen, 1981, 2003)
[8] Densité des entiers friables (Cyril DEMARCHE et Alexandre VIEL Juin 2004)
[9] Number Theory An Introduction via the Distribution of Primes (B.F.G Rosenberger)
[10] Google ET autres sites et forums.
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