Projet 1) Sécurité et protection de données sur les réseaux informatiques.

Projet 2) Preuve élémentaire du théorème des nombres premiers et son application en cryptographie et implémentation de l'algorithme de calcul des nombres premiers inférieur à un certain rang:

Préambule:
Un des résultats les plus frappants des mathématiques et les plus profondément étudiés en arithmétique est la répartition des nombres premiers, en fait dès l’antiquité, on s’est intéressé à ces nombres car on savait depuis cette époque qu’ils étaient en nombre infini (théorème d’Euclide), au cours des années on s’est intéressé en particulier à leur mystérieuse répartition. Parmi ces résultats on trouve Le « théorème des nombres premiers » qui a été conjecturé par Gauss en 1772 à l’âge de 15 ans et par Legendre en 1798, puis démontré de façon autonome simultanément, en1896, par HADAMARD et De LA VALLEE POUSSIN utilisent les propriétés de la fonction Zêta de RIEMANN dans le domaine complexe (analyse complexe). Ultérieurement LANDAU, HARDY, LITTLEWOOD et WIENER utilisent eux aussi dans la démonstration les propriétés de la fonction Zêta, pendant plus de 50 ans, on a cru impossible de donner une démonstration ne faisant pas appel à la fonction Zêta, et à la théorie des fonctions de variables complexes. Une première série d’idées importantes sur le sujet fut introduite par TCHEBYCHEV. En 1845 BERTRAND conjectura que pour tout entier il existait toujours un nombre premier compris strictement entre et . Il vérifia sa conjecture jusqu’au rang n = 3 000 000, mais il appartient à TCHEBYCHEV de la démontrer en 1851. Pour ce faire il entreprit de trouver des encadrements (qu’on appelle maintenant Théorème de TCHEBYCHEV) de la fonction π(x), ces encadrements sont de la forme α n/ln⁡n ≤π(x)≤β n/(ln n): pour n≥n_(n_0 ) effectif, l’objectif est de trouvé des constantes α et β avec (0<α<β) les plus proches possibles de 1  pour pouvoir conclure. Il arrivera en montrant que cette inégalité est vraie pour α≈0,92 et β≈1,1 .
Ce n’est qu’en 1948 qu’une telle démonstration a été obtenue par ERDÖS et SELBERG, en proposèrent une preuve élémentaire (c’est-à-dire, n’utilisant pas d’analyse complexe), et en 1984 DABOUSSI a proposé une nouvelle preuve élémentaire de ce théorème.
Les travaux de Tchebychev survenaient en fait au milieu du XIXe siècle étaient donc les résultats les plus significatifs de l’époque. Toutefois ils étaient insuffisants pour démontrer le théorème des nombres premiers à l’effet que π(x)∽ x/ln⁡x
En effet, le théorème de Tchebychev a servi à démontrer que le crible quadratique est sous exponentiel et son théorème fut historiquement l’une des premières avancées significatives vers le théorème des nombres premiers.

Les considérations utilisées dans ces preuves élémentaires sont de la même catégorie que celles présentées dans ce mémoire.